УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ.

Выделим в текущей воды трубку тока, с сечениямиS1 и S2. В месте сечения S1 скорость течения v1, давлениер1 и высота, на которой это сечение размещено h1. А в месте сечения S2, скорость течения v2, давлениер2 и высота сеченияh2.За просвет времени Dt жидкость перемещается от сечения S1 и S11 к сечениям S2 и УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. S21.

По закону сохранения энергии, изменение полной энергии W2 - W1 воды равно работе А наружных сил по перемещению массы m воды:

W2 - W1 = A, (6.15).

где W2 и W1 - полные энергии воды массойm в местах сеченийS1 иS2. Но А - это работа, перемещения воды, заключенной меж сечениями S1 и S2, за времяDt. При перенесении массы УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. m отS1 до S11жидкость перемещается на расстояние

l1 = v1Dt. (6,16).

и отS2 до S21- на расстояние

l2 = v2Dt. (6.17).

Как следует,

A = F1l1 + F2l2, (6.18).

где

F1 = p1S1 (6.19).

и

F2 = p2S2. (6.20).

Полные энергии: W1 и W2, будут складываться из возможной и кинетической энергий:

W1 =(mv12)/2 +mgh1; (6.21).

W2 =(mv УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ.22)/2 +mgh2. (6.22).

Подставим выражение для энергий в выражение для работы:

(mv12)/2 + mgh1 + p1S1v1Dt = (mv22)/2 + mgh2 + p2S2v2Dt. (6.23).

По уравнению неразрывности, объем воды, постоянен:

DV = S1v1Dt = S2v2Dt. (6.24).

Разделив уравнение для работы на DV, получим

(rv12)/2 + rgh1 + p1 = (rv22)/2 + rgh2 +p2, (6.25).

гдеr - плотность воды. Для хоть какого сечения

(rv УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ.2)/2+rgh + p = cоnst. (6.26).

Уравнение Бернулли — это закон сохранения энергии для установившегося течения воды. Величина р, именуется статическим давлением, величина (rv2)/2 - динамическим давлением, а rgh - гидростатическим давлением. Для горизонтальной трубки тока (h1 = h2) можно записать

(rv2)/2 + p = const, (6.27).

где

p + (rv2)/2 (6.28).

именуется полным давлением. Из уравнений неразрывности и Бернулли следует, что при УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. течении воды по горизонтальной трубе с различными сечениями, скорость больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах.

А именно, для горизонтально расположенной трубы (h1 = h2) уравнение Бернулли воспринимает вид:

(ρv2)/2 + p =const. (6.29).

Из него следует, что: Давление в воды, текущей по горизонтальной трубе переменного сечения, больше в УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. тех сечениях потока, в каких скорость ее движения меньше, и напротив, давление меньше в тех сечениях, в каких скорость больше.

Если сечение потока воды довольно велико, то уравнение Бернулли следует использовать к линиям тока, т.е. линиям, повдоль которых передвигаются частички воды при стационарном течении. При истечении воды из УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. отверстия в боковой стене либо деньке широкого сосуда полосы тока начинаются поблизости свободной поверхности воды и проходят через отверстие.

Разглядим два сечения (на уровне h1поверхности воды в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия).

(rv12)/2 + rgh1 + p1= (rv22)/2 + rgh2 + p2. (6.30).

Рис. 47. Измерение давления в потоке воды при УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. помощи манометров. υ1 < υ2 < υ3; h1 > h2 > h3.
Рис. 48. Истечение воды из широкого сосуда.

Давленияр1 ир2 вне воды на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному (р1 = р2), то уравнение воспримет вид:

(v12)/2 + gh1 = (v22)/2 + gh2. (6.31).

Из уравнения неразрывности следует, что

v2/v1 = S1/S2, (6.32).

где S1иS2 - площади поперечных сечений. Если S1 >> S2, то УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. членом v12/2 можно пренебречь тогда и

v22 = 2g(h1 - h2) = 2gh, (6.33).

v2 = Ö2gh. (Формула Торичелли). (6.34).

z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 2\design\images\Bwd_h.gifЛекция № 7.

ЭНЕРГИЯ. РАБОТА.

В качестве единой количественной меры разных форм движения материи и соответственных им УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. взаимодействий в физики вводится скалярная величина (энергия).Движение - неотъемлемое свойство материи. Потому хоть какое тело, неважно какая система тел и полей владеют энергией. Для разных форм движения и соответственных им взаимодействий в физике вводят разные виды энергии – механическую, внутреннюю, электрическую, ядерную и т.д. Энергия - мера возможности тела совершить работу. Передвигающиеся тела УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. владеют кинетическойэнергией. Так как есть два главных вида движения - поступательное и вращательное, то кинетическая энергия представлена 2-мя формулами - для каждого вида движения. Возможная энергия - энергия взаимодействия. Полная механическая энергия является суммой кинетической и возможной. Для оценки процесса обмена энергией меж телами, в механике вводится понятие работы. z:\Program Files\Physicon УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ.\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifРаботой A, совершаемой неизменной силой F именуется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α меж векторами силы F и перемещения s.

A = (F.s) = F УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ..s(cosa). (7.1).

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна

(0 ≤ ά < 90o), так и отрицательна (900 < ά ≤ 180o). В системеСИ работа измеряется в джоулях (Дж).Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 H на перемещении 1 м в направлении деяния силы.

Рис. 49. Работа силы F.

z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ.\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifЕсли проекция Fx силы Fна направление перемещения s не остается неизменной, работу следует вычислять для малых перемещений Δsi и суммировать результаты: A = ∑ΔAi = ∑FsiΔsi. (7.2).

Простой работой силы именуется скалярная величина:

dA = (F.dr) = F(cosa).ds. (7.3).

A = òF(cosa)ds. (7.4).

Рис.50. Работа УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. силы тяжести.

Нужно только знать функцию силы F повдоль линии движения. Работа всех наружных сил, действующих на вещественную точку, равна приращению кинетической энергии этой точки:

A = W2 - W1 = (mv22)/2 - (mv12)/2. (7.5).

z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. 1\design\images\Bwd_h.gif
Рис. 51. Графическое определение работы. ΔAi = FsiΔsi.

z:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Fwd_h.gifz:\Program Files\Physicon\Open Physics 2.5 part 1\design\images\Bwd_h.gifГрафически работа определяется по площади криволинейной фигуры под графиком Fs(x). Если к телу приложено несколько УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. сил, то общая работа всех сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых отдельными силами и равна работе равнодействующей приложенных сил.

Работа силы, совершаемая в единицу времени либо скорость совершения работы, именуется мощностью.

N = dA/dt = F.dr/dt = F.v. (7.6).

Мощность Nэто физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. которого совершена эта работа:

N = A/t.В Интернациональной системе СИ единица мощности именуется ватт (Вт). Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ.

Кинетическая энергия - это энергия движения. Сила F, действуя на тело, совершает работу, и энергия тела растет на величину затраченной работы, т.е УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ..

dA = dW. (7.7).

По второму закону Ньютона

F = m(dv/dt) (7.8).

и умножив обе части равенства на dr, получим

Fdr = m.dv.dr/dt = dA (7.9).

и зная, что v = dr/dt,

dA = mvdv/dt = dW. (7.10).

Проинтегрировав уравнение, найдем, что кинетическая энергия равна

W = (mv2)/2. (7.11).

Аксиома о кинетической энергии справедлива и когда тело движется под УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения. Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех частей этой системы.

Возможная ЭНЕРГИЯ.

Возможная энергия – это энергии взаимодействия тел. Возможная энергия вводится только для сил, работа которых не находится в зависимости от траектории перемещения тела и определяется только УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. исходным и конечным положениями.Взаимодействие тел осуществляется через силовые поля. Тело в возможном поле имеет энергию Wn. . Работа при малом изменении конфигурации системы равна приращению возможной энергии (со знаком минус), так как она совершается за счет убыли возможной энергии:

dA = - dWn. (7.12).

dA это скалярное произведение силы F на перемещениеdr:

Fdr=- dWn. (7.13).

Рис. 52. Работа УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. ограниченной силы A1a2 = A1b2. Работа на замкнутой линии движения A = A1a2 + A2b1 = A1a2 – A1b2 = 0.

Отсюда сила F по модулю и направлению

F=-dWn/dr, (7.14).

а возможная энергия

Wn=- òFdr+C, (7.15).

гдеС - неизменная интегрирования, т.е. возможная энергия определяется с точностью до неизменной. Для ограниченных сил

Fx = - dWn/dx, Fy УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. = - dWn/dy, Fz = - dWn/dz, F = -gradWn. (7.16).

Рис.53. .Вычисление возможной энергии тела в гравитационном поле.

Определенный вид функции Wnнаходится в зависимости от нрава поля. Так возможная энергия тела массой m на высоте h над Землей

Wn = mgh, (7.17).

где высота h отсчитывается от нулевого уровня, на котором Wn = 0.

Рис. 54. Диаграмма энергий тела массой m УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R.

Для упруго деформированного тела сила упругости пропорциональна величине деформации Fупр = - kx, (7.18).

где k - коэффициент упругости. По третьему закону Ньютона,

Fдеф= - Fупр = kx. (7.19).

Работа dA, совершаемая силой Fдеф, при малой деформации dx,

dA = Fдефdx = kxdx, (7.20).

а полная работа A = òkxdx = kòxdx = (kx УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ.2)/2 (7.21).

идет на повышение возможной энергии деформированного тела,

Wn = (kx2)/2. (7.22).

На тело поблизости поверхности Земли, действует сила тяжести

F = mg. (7.23).

Работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения Δs на ось OY, направленную вертикально ввысь:

A = FTΔscosά = mgΔsv. (7.24).

Где FT = F Tv = - mg. (7.25).

– проекция силы тяжести, Δsv. – проекция вектора перемещения. При УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. подъеме тела ввысь сила тяжести совершает отрицательную работу, потому что Δsv.> 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h1, в точку, расположенную на высоте h2 от начала координатной оси OY , то сила тяжести сделала работу

A = - mg(h2 – h1) = - - (mgh2 – mgh1). (7.26).

Эта работа равна изменению mgh, взятому с обратным знаком. Данную УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. величину именуют возможной энергией тела в поле силы тяжести

Wp = mgh. (7.27).

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень. Возможная энергия Wp находится в зависимости от выбора начала координат оси OY. Физический смысл имеет не сама возможная энергия, а ее изменение ΔWp = (Wp2 – Wp1). (7.28).

Это изменение не находится УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ. в зависимости от выбора нулевого уровня.Понятие возможной энергии справедливо и для упругой силы. Работа равна работе наружной силы A, взятой с обратным знаком.

Aупр. = - A = -(kx2/2). (7.29).

Где k– твердость пружины. Возможной энергией упруго деформированного тела именуют величину Wp = (kx2/2). (7.30).


uravnenie-pryamoj-v-prostranstve-po-tochke-i.html
uravnenie-ravnovesiya-napryazhenij-fazi-obmotki-yakorya-neyavnopolyusnogo-sg.html
uravnenie-shredingera-dlya-chastici-v-potencialnoj-yame.html