Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки , и . Если точки не лежат на одной прямой, то через их всегда можно провести единственную плоскость. Обозначим (х, у, z) координаты случайной точки М места и разглядим три вектора: , , . Точка М лежит на плоскости М1М2М3 в том и исключительно в том случае, когда Уравнение плоскости, проходящей через три точки перечисленные три вектора компланарны, а означает , т.е. определитель, составленный из их координат, равен нулю:

.

Пример V.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки , и .

Решение. Пусть – случайная точка плоскости,
тогда векторы , , компланарны, потому:

Вычисляя определитель по правилу треугольников, получим: либо .

Аксиома V.1.В пространстве всякая плоскость выражается уравнением первой степени , .

Подтверждение. В Уравнение плоскости, проходящей через три точки прошлом пт было установлено, что всякая плоскость может быть задана уравнением вида (V.4):

, .

Раскрыв скобки и обозначив , получим общее уравнение первой степени относительно x, y, z: , эквивалентное уравнению (V.4). Потому оно определяет ту же плоскость, что и уравнение (V.4), и именуется общим уравнением плоскости. Коэффициенты при переменных в этом уравнении сохраняют Уравнение плоскости, проходящей через три точки тот же геометрический смысл, что и в равенстве (V.4), другими словами являются координатами обычного вектора плоскости. Потому что обычный вектор плоскости является ненулевым, то коэффициенты A, B и C не могут быть сразу равны нулю. Итак, мы обосновали, что всякая плоскость в определяется уравнением первой степени относительно переменных Уравнение плоскости, проходящей через три точки координат x, y, z.

Аксиома V.2 (оборотная).Всякое линейное уравнение с 3-мя переменными , , определяет плоскость в пространстве , если хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю.

Подтверждение. Пусть x0, y0, z0 – какое-либо решение данного уравнения. Тогда , откуда . Подставляя в данное уравнение заместо D его значение и группируя Уравнение плоскости, проходящей через три точки члены, получим

.

Это уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей обычный вектор . Как следует, и равносильное ему уравнение определяет плоскость [перпендикуляр-ную вектору ].

Пример V.6.Выстроить в прямоугольной системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости нужно и довольно знать какие-либо три ее точки (не лежащие на Уравнение плоскости, проходящей через три точки одной прямой), к примеру точки скрещения плоскости с осями координат. Полагая в данном уравнении , получим . Как следует, данная плоскость пересекает ось Oz в точке . Аналогично, при получим , другими словами точку ; при получим , другими словами точку . По трем точкам , , строим заданную плоскость (рис. V.6).

Личные случаи общего уравнения плоскости. Разглядим особенности расположения плоскости Уравнение плоскости, проходящей через три точки в тех случаях, когда те либо другие коэффициенты общего уравнения обращаются в нуль.

1. При уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, потому что координаты точки удовлетворяют этому уравнению.

2. При уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох, так как обычный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Ох (его проекция на Уравнение плоскости, проходящей через три точки ось Ох равна нулю). Аналогично при плоскость параллельна оси Оу, а при плоскость параллельна оси Оz.

3. При уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ох, так как она параллельна оси Ох ( ) и проходит через начало координат ( ). Аналогично плоскость проходит через ось Оу, а плоскость – через ось Оz.

4. При уравнение определяет плоскость Уравнение плоскости, проходящей через три точки, параллельную координатной плоскости Оxу, так как она параллельна осям Oх ( ) и Оу ( ). Аналогично, плоскость параллельна плоскости уОz, а плоскость – плоскости Оxz.

Рис. V.6

5. При уравнение (либо ) определяет координатную плоскость Оxу, потому что она параллельна плоскости Оxу ( ) и проходит через начало координат ( ). Аналогично уравнение в пространстве определяет координатную плоскость Оxz, а Уравнение плоскости, проходящей через три точки уравнение – координатную плоскость Оyz.

Пример V.7.Составить уравнение плоскости P, проходящей через ось Оу и точку .

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через ось Оу, имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P. Потому ее координаты удовлетворяют написанному выше уравнению плоскости: Û , откуда . Подставив отысканное Уравнение плоскости, проходящей через три точки значение A в уравнение , получим: , либо .

Это и есть разыскиваемое уравнение.


urok-1-15-stranica-5.html
urok-1-15.html
urok-1-informaciya-informatika-kompyuter-tehnika-bezopasnosti-i-organizaciya-rabochego-mesta-klaviaturnij-trenazher-v-rezhime-vvoda-slov.html