Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме

Нахождение электрона в поле ядра можно приближенно считать движением в трехмерной возможной яме. Высота этой ямы определяется величиной кулоновского поля ядра.

Разглядим простой случай – движение частички в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с нескончаемо высочайшими «стенками» – возможная энергия на границах имеет нескончаемо огромное значение. Возможная энергия таковой ямы шириной l имеет Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме вид:

(5.15)

Рис. 5.1. Одномерная возможная яма

Ограничимся рассмотрением стационарных состояний системы, уравнение Шредингера для одномерной задачки в данном случае имеет вид:

(5.16)

Так как частичка не может просочиться за границы возможной ямы, то волновая функция ψ(x) вне ямы тождественна нулю. В силу условия непрерывности ψ(x) должна быть равна нулю и на Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме границах ямы:

(5.17)

Выражение (5.17) является граничным условием задачки.

В границах ямы (0 ≤ x ≤ l) U=0, как следует, уравнение Шредингера имеет вид: (5.18)

Обозначив через (5.19)

получим уравнение, описывающее колебательный процесс:

(5.20)

Решение этого уравнения имеет вид: (5.21)

Подстановка граничных критерий позволяет отыскать константы ω и α:

, из чего следует, что α=0.

, отсюда получаем:

(n=1, 2, 3,...) (5.22)

При n = 0 решение лишено физического смыла Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме, потому что ψ = 0 значит, что частичка нигде не находится, т.е. не существует.

Подставив ω из (5.22) в выражение (5.20), можно отыскать собственные значения энергии частички: (n = 1, 2, 3, ...) (5.23)

Итак, энергия, которой может владеть частичка в одномерной возможной яме, представляет собой дискретный набор значений, другими словами энергетический диапазон частички является дискретным. Малое значение Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме энергии частички, находящейся в возможной яме, отлично от нуля. Это проявление волновых параметров частиц. Таковой итог может быть получен из соотношения неопределенности.

Как будет двигаться электрон, можно выяснить, рассчитав волновые функции: Подстановка отысканного значения параметра ω в формулу (5.21) дает вид собственных функций задачки: (5.24)

Подставив волновую функцию (5.24) в условие нормировки (4.18), , найдем параметр .

Таким Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме макаром, собственные функции имеют вид:

(n=1,2,3,...) (5.25)

На рисунке показаны волновые функции первых 3-х энергетических состояний частички в возможной яме шириной l, также вероятности обнаружения частички на разных расстояниях от стен ямы ψ2=ψ*ψ.

А именно видно, что в состоянии n = 2 возможность найти частичку посреди ямы равна нулю. Напомним, что Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме согласно традиционным (не квантовым) суждениям, частичка с схожей вероятностью может находиться в хоть какой точке ямы.

а) б) в)

Рис. 5.2. а) энергетический диапазон (1-ые 5 состояний) частички в возможной яме шириной L; б) волновая функция частички в первых 3-х состояния; в) квадрат волновой функции частички = возможность нахождения частички в определенной точке возможной ямы Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме в первых 3-х состояниях

Такое поведение наночастиц иллюстрирует тот факт, что к ним не применимо понятие линия движения. А именно в состоянии n = 2 частичка «перемещается» из левой части ямы в правую и при всем этом не проходит через «середину» этой ямы.

Оценим расстояние меж уровнями:

(5.26).

Видно, что чем больше масса Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме частички и геометрические размеры области, в какой эта частичка ограничена, тем меньше расстояние меж примыкающими уровнями. Очевидно, для тел с большой массой ни о каких квантовых эффектах гласить не приходится. Но даже, если взять m порядка массы молекулы (~10–26 кг), а l порядка 0.1 м (размер сосуда, в каком находится Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме молекула), расстояние меж уровнями составит ∆En ≈ n·10–20 эВ. Диапазон с таковой густотой линий будет восприниматься как сплошной, а молекула будет вести себя как традиционная частичка.

Такая же примерно ситуация складывается с движением электрона в проводнике. В данном случае в формулу (5.26) необходимо подставить массу электрона m ~ 10–30 кг, геометрические размеры Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме области, в какой ограничен электрон, для определенности возьмем l = 0.1 м. Тогда ∆En ≈ n·10–16 эВ, другими словами квантовые эффекты будут не много приметны, и поведение электрона в проводнике также будет иметь традиционный нрав.

Итак, квантовый нрав движения будет иметь только малая частичка (нуклон, электрон, атом и даже молекула), ограниченная в очень малой Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме области места. Эти условия производятся, к примеру, для электронов, находящихся в поле ядра. В данном случае масса электрона m ~ 10–30 кг, l ≈ 10–9 м, тогда расстояние меж уровнями будет ∆En ≈ n·1 эВ. В данном случае квантование энергии будет выраженным, как следует, и поведение электрона будет хорошим от традиционного.

Можно Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме показать, что стационарные уровни в возможной яме появляются только в этом случае, если Е1 ˂ U. Другими словами в возможной яме рассматриваемого вида уровни появляются только при условии:

(5.27)

В левой части этого неравенства стоят характеристики возможной ямы (глубина и ширина), а в правой – только неизменные числа и универсальные неизменные. Если Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме приобретенное нами условие не выполнено (возможная яма очень узенькая либо очень маленькая), в ней не помещается ни 1-го энергетического уровня. Такие случаи встречаются не так изредка. Силы взаимодействия меж 2-мя нейтронами являются слабенькими силами притяжения. Эти силы определяют величину возможной энергии U. Ядра, состоящего из 2-ух нейтронов, в природе Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме не существует, потому что возможная яма, в какой должны находиться два нейтрона в каких-то состояниях, не удовлетворяет обозначенному выше условию (5.27). Аналогичным образом не существует и ядра, состоящего из 2-ух протонов. Сила взаимодействия меж протоном и нейтроном совершенно незначительно больше, чем сила взаимодействия 2-ух нейтронов либо протонов. Но этой маленький Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме различия довольно, чтобы возможная энергия U уже удовлетворяла условию (5.27). В таковой яме может образоваться только один уровень – одно состояние. Связанное состояние нейтрона и протона именуется дейтроном. Возбужденного состояния дейтрона не существует, потому что в соответственной возможной яме может образоваться только одно состояние.


urok-10-s-2225-glasnij-zvuk-a-bukvi-a-a-rabochaya-uchebnaya-programma-po-muzike-dlya-1-klassa-1-chas-v-nedelyu-vsego-33-chasa.html
urok-11-da-zdravstvuet-chistij-vozduh-mayurov-a-n-mayurov-ya-a-uroki-kulturi-zdorovya-uchebnoe-posobie-dlya.html
urok-114-kak-izmenit-svoyu-sudbu-k-luchshemu.html