Уравнение в полных дифференциалах.

Однородные дифференциальные уравнения.

Определение.Функция именуется однородной функцией измерения относительно переменных и , если при любом справедливо тождество:

К примеру, функция является однородной 4-ого измерения потому что

Определение.Уравнение первого порядка:

именуется однородным относительно и , если функция есть однородная функция нулевого измерения относительно и .

Решение однородного уравнения.По условию . Положив в этом Уравнение в полных дифференциалах. тождестве , получим , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от дела аргумента.

Уравнения в данном случае воспримет вид: .

Создадим подстановку , т.е. , .

Подставляя это выражение в уравнение, получим это – уравнение с разделяющимися переменными:

,

либо

.

Интегрируя, найдем

.

Подставляя после интегрирования заместо отношение , получим интеграл дифференциального уравнения.

К однородным уравнениям приводятся Уравнение в полных дифференциалах. уравнения вида:

. (1)

Если , это уравнение есть однородное. Пусть , . Создадим подмену переменных , .

Тогда

.

Подставляя в уравнение (1) выражение и , будем иметь:

.

Подберем и так, чтоб производились равенства:

,

т.е. определим и как решения этой системы уравнений. При всем этом условие данного уравнения становится однородным:

.

Решив это уравнение и перейдя опять к и получим решение Уравнение в полных дифференциалах. уравнения.

Если , то система не имеет решения.

Но в данном случае , , и, как следует, уравнение можно конвертировать к виду:

.

Тогда подстановкой уравнения приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные дифференциальные уравнения.

Определение.Линейным уравнением первого порядка именуется уравнение, линейное относительно неведомой функции и её производной. Оно имеет вид

, (2.1)

где и Уравнение в полных дифференциалах. - данные непрерывные функции от (либо неизменные).

Решение линейного уравнения находится по формуле

(2.2)

Пример. Отыскать общее решение уравнения Решить задачку Коши при исходном условии у(-2)=2.

Приведем данное уравнение к виду (2.1), разделив обе его части на Получим:

Тут

Общее решение начального уравнения в согласовании с формулой . (2.2) имеет вид

(2.3)

Найдем входящие в это Уравнение в полных дифференциалах. решение интегралы. Имеем

где знаки возникают в силу равенства Подставляянайденные интегралы в решение (2.3), совсем получаем общее решение начального уравнения:

Из него выделяем личное решение , соответственное исходному условию у(-2)=2 :

Полезно подразумевать , что время от времени дифференциальное уравнение является линейным относительно х как функции у ,т.е. может быть приведено к виду

(2.4)

Его общее Уравнение в полных дифференциалах. решение находится по формуле

Отметим ,что линейное дифференциальное уравнение (2.1) можно также проинтегрировать способом Бернулли, сущность которого заключается в последующем. Введем две неведомые функции u(x ) и v(x) по формуле y=u(x)v(x) (подстановка Бернулли). Тогда Подставим выражение для и в уравнение (2.1), получим уравнение которое преобразуем Уравнение в полных дифференциалах. к виду

Уравнение Бернулли.

Уравнение вида , где и - непрерывные функции от (либо неизменные), а и , именуется уравнением Бернулли.

Это уравнение приводится к линейному последующим преобразованием.

Разделив все члены уравнения на , получим .

Создадим подмену ,

.

Подставляя эти значения в уравнение, будем иметь линейное уравнение:

.

Обнаружив его общий интеграл и подставив заместо выражение Уравнение в полных дифференциалах. , получим общий интеграл уравнения Бернулли.

Дифференциальное уравнение

(2.7)

где а так же хоть какое уравнение , при помощи алгебраических преобразований приводящееся к уравнению (2.7), именуется уравнением Бернулли.

Пример. Отыскать общее решение уравнения Бернулли Потому что для данного уравнения можно сделать подмену Получим уравнение общее решение которого в согласовании с формулой (7) имеет вид

Общее решение начального Уравнение в полных дифференциалах. уравнения

Уравнение в полных дифференциалах.

Уравнение именуется уравнением в полных дифференциалах, если и - непрерывные, дифференцируемые функции, для которых производится соотношение

,при этом и непрерывны в некой области.

Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах:

.

Пример. Отыскать общее интеграл уравнения

Ведем обозначения Потому что т.е. условие (10) выполнено, то данное уравнение является Уравнение в полных дифференциалах. уравнением в полных дифференциалах . Его общий интеграл можно отыскать по формуле (11) либо (12) , положив для простоты Выбор этих значений , допустим , потому что функции и их личные производные определены, т.е. точка По формуле имеем:

По формуле (12) получаем общий интеграл:


urok-17-nauchno-tehnicheskaya-revolyuciya-lekciya.html
urok-18-sochinenie-opisanie-po-voobrazheniyu-na-osnove-kartini-v-g-ciplakova-moroz-i-solnce-upr-74.html
urok-18redaktirovanie-teksta-vstavka-udalenie-i-zamena-simvolov-uchebno-metodicheskoe-posobie-dlya-uchitelej-obsheobrazovatelnih.html