Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют

^ Уравнения Лагранжа и Клеро
Уравнением Лагранжа именуется обычное дифференциальное уравнение

,

(1.15)

не разрешенное относительно производной, но линейное относительно независящей переменной и разыскиваемой функции. Уравнение Лагранжа разрешимо в квадратурах способом введения параметра. Пусть (1.15) приводимо к виду

.

Полагая и дифференцируя Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют обе части по переменной x, получим:

,

,

,

,



Последнее уравнение является линейным относительно функции .

Личным случаем уравнения Лагранжа является уравнение Клеро:

.

(1.16)

К этому уравнению приводят многие геометрические задачки, в каких требуется найти Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют кривую по данному свойству ее касательных.
^ Уравнения, допускающие снижение порядка
Пусть требуется отыскать общее решение дифференциального уравнения второго порядка

.

(1.17)

Разыскиваемое решение является функцией

,

зависящей от 2-ух случайных неизменных.

Если уравнение (1.17) не содержит разыскиваемой Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют функции, то снизить порядок уравнения можно подменой

, .

К примеру, пусть требуется решить уравнение . Выполняя подмену , , получим

, , , .

Ворачиваясь к разыскиваемой функции, будем иметь

, .

Если уравнение не содержит независящей переменной, то снизить порядок можно подменой

, .

Пример: . Выполняя подмену , , получим

.

Одним из решений Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют этого уравнения является функция . Пусть :

, .

Приобретенное решение включает функцию в качестве личного варианта (соответствует значению ), потому раздельно рассматривать решение не надо. Ворачиваясь к разыскиваемой функции, получим

, , , .

Аналогично снижается степень в уравнениях вида

.

Пример: . Сначало Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют выполним подмену , . Получим

.

Положим дальше , , тогда

, , , ,

, , ,

,

откуда

,

.
^ Линейные уравнения второго порядка с неизменными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с неизменными коэффициентами именуют уравнение

,

(1.18)

в каком и являются константами.

Если правая часть (1.18) равна нулю, то Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют уравнение именуют однородным; в неприятном случае его именуют неоднородным.

Для нахождения общего решения однородного уравнения



(1.19)

следует отыскать два решения и , для которых определитель Вронского

;

такие решения именуют линейно независящими. Тогда линейная композиция



будет Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют разыскиваемым общим решением.

Решения y1, y2 следует находить в виде

.

Дифференцируя и подставляя в (*), получим:

; ; .

В силу :

.

(1.20)

Приобретенное уравнение именуется характеристическим.

Если характеристическое уравнение имеет два реальных разных корня k1 и k2, то Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют разыскиваемая пара линейно независящих решений:

, .

Общее решение:

.

Если уравнение (1.20) имеет два комплексно-сопряженных корня

, ,

то разыскиваемая пара линейно независящих решений:

, .

Общее решение:

.

Если характеристическое уравнение имеет один двукратный корень

,

то разыскиваемая пара линейно независящих решений

, .

Потому общее решение

.

Общее Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют решение неоднородного уравнения можно отыскать способом варианты случайных неизменных, но для неких личных видов правой части это удается сделать, не прибегая к интегрированию. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид

,

где y Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют0 – решение соответственного однородного уравнения, yr – какое-либо личное решение неоднородного уравнения.

Пусть правая часть является многочленом n-й степени:

, .

Если  не корнем (c), то личное решение ищется в виде

.

Дифференцируя yr и подставляя итог Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют в (a), получим:

,

,

.

(1.21)

Потому что  не является корнем характеристического уравнения, то третье слагаемое в левой части отлично от нуля. Потому обе части (1.21) есть многочлены n-й степени. Приравнивая коэффициенты при Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют схожих степенях, получим систему уравнений, откуда и определим все A1, A2, ... An. Общее решение будет иметь вид:

.

Пусть a является корнем (может быть, двукратным) характеристического уравнения. Тогда левая часть (1.21) есть многочлен степени ниже Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют n. Как следует, уравнение (1.21) ни при каком Qn не будет тождеством. В данном случае решение yr ищется в виде

a) – если a является одним из корней;

b) – если a является двукратным корнем.

Пусть правая Уравнения Лагранжа и Клеро - Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям Большинство законов природы имеют часть неоднородного уравнения имеет вид:

,

где и – многочлены.

Если число не является корнем характеристического уравнения, то личное решение ищется в виде

, где ,

в неприятном случае оно ищется в виде

.


urok-23-tema-teorema-pifagora.html
urok-25-kontrolnij-urok.html
urok-26-chto-takoe-narkotiki-i-narkomaniya-mayurov-a-n-mayurov-ya-a-uroki-kulturi-zdorovya-uchebnoe-posobie.html