Уравнения с одним неизвестным

Определение. Уравнение с одним неведомым — это выражение с одной переменной, имеющее вид , где и — функции. Те значения , при которых определены обе эти функции, образуют область определения уравнения.

Примеры.

1) , — вещественное число;

2) , ;

3) , .

Определение. Значение , при котором уравнение Уравнения с одним неизвестным обращается в верное равенство, именуется корнем, либо решением уравнения.

Определение. Пусть даны два уравнения (1) и (2). Уравнение (2) именуется следствием уравнения (1), если огромное количество корней уравнения (1) содержится в огромном количестве корней Уравнения с одним неизвестным уравнения (2).

Обозначение. .

Пример.

1)

2)

3)

Аксиома. Пусть — функции. Разглядим уравнения




\displaystyle<br /> {f(x)\over h(x)}={g(x)\over h(x)}\ \mbox{\hskip10.5cm}(5)
Если область определения функции Уравнения с одним неизвестным содержит область определения уравнения (1), то уравнения (2), (3), (4) являются следствиями уравнения (1). Если, не считая того, функция не обращается в нуль ни в какой точке области определения уравнения (1), то уравнение (5) является следствием уравнения (1).

Подтверждение Уравнения с одним неизвестным. 1) .

Пусть — корень уравнения (1). Тогда и — это одно и то же число. Тогда и — одно и то же число. Как следует, — корень уравнения (2). Аналогично доказываются другие утверждения.

Пример.



\displaystyle<br /> {x^2\over x^4+2}={x Уравнения с одним неизвестным+2\over x^4+2},\mbox{\hskip10cm}(4)

\displaystyle<br /> x={x+2\over x},\mbox{\hskip11cm}(6)

Докажем, что .

Разобьем область определения уравнения (1) на два огромного количества и . На первом огромном количестве уравнение корней Уравнения с одним неизвестным не имеет (убеждаемся в этом проверкой). Потому довольно разглядеть уравнение (1) на огромном количестве . Сейчас на этом огромном количестве . Означает, .

, потому что числа вида не являются корнями уравнения (1).

, потому что число 2 является корнем Уравнения с одним неизвестным уравнения (1), но не заходит в область определения уравнения (8).

Пусть, решая уравнение (1), получили

Представим, что известны все корешки уравнения . Чтоб решить уравнение (1), довольно подставить в него попеременно все корешки уравнения .

Определение. Два Уравнения с одним неизвестным уравнения именуются равносильными, если каждое из их является следствием другого, т.е. огромного количества их корней совпадают.

Применяя аксиому, можно показать, что уравнение (1) является следствием каждого из уравнений (2), (3), (5) и, как следует, равносильно им Уравнения с одним неизвестным. Уравнения (1) и (4) равносильны, если востребовать, чтоб функция не обращалась в нуль на области определения уравнения (1).

Решая уравнение, можно добавлять к обеим частям одну и ту же функцию (вычитать, множить, разделять) при условии Уравнения с одним неизвестным, что область определения этой функции содержит область определения уравнения, а в случае умножения и деления не
обращается в нуль в точках этой области. В этих случаях мы будем получать уравнение, равносильное данному Уравнения с одним неизвестным, если из его корней выбирать только те, которые входят в область определения начального уравнения.

Аксиома. Пусть — функции, при этом область определения функции содержит огромного количества значения функций и . Разглядим уравнения


Тогда .

Если функция при Уравнения с одним неизвестным всем этом обратима, то уравнения (1) и (6) равносильны.


urok-34-ya-prinimayu-reshenie-mayurov-a-n-mayurov-ya-a-uroki-kulturi-zdorovya-uchebnoe-posobie-dlya-uchenika-i-uchitelya-7-11-klassi.html
urok-3introduction-praktikum-po-perevodu-anglijskij-yazik-uchebno-metodicheskoe-posobie.html
urok-4-klass-tema-skazki-pushkina.html