Уравнения высших степеней

1.

Некие виды уравнений высших степеней можно решить, используя квадратное уравнение. Время от времени можно разложить левую часть уравнения на множители, любой из которых является многочленом не выше 2-ой

степени. Тогда, приравнивая любой из их к нулю Уравнения высших степеней и решая все эти квадратные и / либо линейные уравнения, мы получим все корешки исходногоуравнения.

П р и м е р . Решить уравнение: 3x 4 + 6x 3 – 9x 2 = 0 .

Р е ш е Уравнения высших степеней н и е . Разложим левую часть этого уравнения на множители:

x 2 ( 3x 2 + 6x – 9 ) .

Решим уравнение: x 2 = 0; оно имеет два корня: x1 = x2 = 0 .

Сейчас решим уравнение: 3x 2 + 6x – 9 = 0, и получим:

x3 = 1 и x4 = – 3 .

Таким Уравнения высших степеней макаром, начальное уравнение имеет четыре корня:

x1 = x2 = 0 ; x3 = 1 ; x4 = – 3 .


2.

Если уравнение имеет вид:

ax2n + bxn + c = 0 ,

оно приводится к квадратному уравнению подменой:

xn = z ;

вправду, после этой подмены получаем: az 2+ bz + c Уравнения высших степеней = 0 .

П р и м е р . Разглядим уравнение:

x 4 – 13 x 2 + 36 = 0 .

После подмены: x 2 = z получим уравнение:

z 2 – 13 z + 36 = 0 .

Его корешки: z1 = 4 и z2 = 9. Сейчас решаем уравнения:

x 2 = 4 и x 2 = 9 . Они Уравнения высших степеней имеют соответственно корешки:

x1 = 2 , x2 = – 2 , x3 = 3 ; x4 = – 3 . Эти числа являются

корнями начального уравнения ( проверьте, пожалуйста! ).

Хоть какое уравнение вида: ax 4 + bx 2 + c = 0 именуется биквадратным.

Оно приводится к квадратному уравнению подменой:


x2 = z .

П Уравнения высших степеней р и м е р . Решить биквадратное уравнение: 3x 4 – 123x 2 + 1200 = 0 .

Р е ш е н и е . Заменяя: x 2 = z , и решая уравнение:

3z 2 – 123z + 1200 = 0, получаем:

отсюда, z1 = 25 и z2 = 16. Используя нашу подмену Уравнения высших степеней, получим:

x 2 = 25 и x 2 = 16, отсюда, x1 = 5, x2 = – 5, x3 = 4, x4 = – 4.


3. Кубическое уравнение – это уравнение третьей степени вида:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 .
Известные формулы Кардано для решения уравнений этого типа очень сложны и практически Уравнения высших степеней не используются на практике. Потому мы рекомендуемдругой путь для решения уравнений третьей степени.
1).

Поначалу оковём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по последней мере Уравнения высших степеней одиндействительный корень, при этом целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что разыскиваемый корень лежит посреди маленьких целых чисел, таких как: 0, ± 1, ± 2,± 3. Потому мы Уравнения высших степеней будем находить корень посреди этих чисел и инспектировать его оковём подстановки в уравнение. Возможность фуррора при таком подходе очень высока. Представим, что этот корень x1 .

2).

2-ая стадия решения – это деление Уравнения высших степеней многочлена ax 3+ bx 2+ cx+ d на бином x – x1. Согласно аксиоме Безу (см. раздел «Деление многочлена на линейный двучлен») это деление без остатка может быть, и мы получим в итоге многочлен 2-ой степени, который Уравнения высших степеней нужно приравнять к нулю. Решая приобретенное квадратное уравнение, мы найдём (либо нет!) оставшиеся два корня.

П р и м е р . Решить уравнение: x 3 – 3x 2 – 13x + 15 = 0 .

Р е ш Уравнения высших степеней е н и е . Ищем 1-ый корень перебором чисел: 0, ± 1, ± 2, ± 3

и подстановкой в уравнение. В итоге находим,

что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого

уравнения на бином x – 1, и получаем:

Сейчас, решая квадратное уравнение: x Уравнения высших степеней 2 – 2x – 15 = 0,

находим оставшиеся два корня: x1 = – 3 и x2 = 5 .


urok-5-normi-prava-i-pravonarusheniya-mayurov-a-n-mayurov-ya-a-uroki-kulturi-zdorovya-uchebnoe-posobie-dlya-uchenika.html
urok-5-slovoobrazovanie-cheredovanie-glasnih-programma-sanskrit-111-ukazatel-terminov-i-tem-112-sanskritsko-russkij.html
urok-50-razdel-zemlya-nash-obshij-dom-tema-puteshestvie-tuchki-po-evrope.html